Ряды Фурье

Автор	Сообщение
Koshi # 17 мая 2005	Подскажите пожалуйста можно ли функцию $y={x},0<x<1;{-0.5x+1.5},1<x<3$ разложить в ряд по sin, затем по cos и, наконец, в тригонометрический ряд. Если можно - умоляю, напишите как. Заранее огромное спасибо:) Если много формул - пришлите на ящик в другом формате abel85@mail.ru
О.А. # 18 мая 2005	Чтобы данную функцию разложить по sinx, надо ее продолжить на отрезок (-3,0) нечетным образом. При этом, $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin (\pi nx/3),$ где $b_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\sin (\pi nx/3)dx,n=1,2,...$ Т.е. $b_{n}=2/3\int_{0}^{1}x\sin(\pi nx/3)dx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)\sin(\pi nx/3)dx$ Данные интегралы легко вычислить по частям,полагая $x=u,\;\;\sin(\pi nx/3)dx=dv$ и, соответственно, во втором интеграле $3/2-1/2 x=u,\;\;\sin(\pi nx/3)dx=dv$ Вычисляя, получим, что $b_{n}=\frac{9}{(\pi n)^2}\sin(\pi n/3)$ Чтобы разложить по cosx, надо продолжить данную функцию на отрезок(-3,0) четным образом. При этом, $f(x)=a_{0}/2+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(\pi nx/3),$ где $a_{0}=2/3\int_{0}^{3}f(x)dx,\;\;a_{n}=2/3\int_{0}^{3}f(x)\cos(\pi nx/3)dx$ Подробное вычисление дает, $a_{0}=2/3\int_{0}^{1}xdx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)dx =2/3(x^2/2\|_{0}^{1}+(3/2x-x^2/4))\|_{1}^{3}=1$ Аналогично, $a_{n}=2/3\int_{0}^{1}x\cos(\pi nx/3)dx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)\cos(\pi nx/3)dx=\frac{6}{(\pi n)^2}(\cos (\pi n/3)-1)$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Koshi #
17 мая 2005

Подскажите пожалуйста можно ли функцию $y={x},0<x<1;{-0.5x+1.5},1<x<3$ разложить в ряд по sin, затем по cos и, наконец, в тригонометрический ряд. Если можно - умоляю, напишите как. Заранее огромное спасибо:) Если много формул - пришлите на ящик в другом формате abel85@mail.ru

О.А. #
18 мая 2005

Чтобы данную функцию разложить по sinx, надо ее продолжить на отрезок (-3,0) нечетным образом. При этом, $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin (\pi nx/3),$ где $b_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\sin (\pi nx/3)dx,n=1,2,...$ Т.е. $b_{n}=2/3\int_{0}^{1}x\sin(\pi nx/3)dx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)\sin(\pi nx/3)dx$ Данные интегралы легко вычислить по частям,полагая $x=u,\;\;\sin(\pi nx/3)dx=dv$ и, соответственно, во втором интеграле $3/2-1/2 x=u,\;\;\sin(\pi nx/3)dx=dv$ Вычисляя, получим, что $b_{n}=\frac{9}{(\pi n)^2}\sin(\pi n/3)$ Чтобы разложить по cosx, надо продолжить данную функцию на отрезок(-3,0) четным образом. При этом, $f(x)=a_{0}/2+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(\pi nx/3),$ где $a_{0}=2/3\int_{0}^{3}f(x)dx,\;\;a_{n}=2/3\int_{0}^{3}f(x)\cos(\pi nx/3)dx$ Подробное вычисление дает, $a_{0}=2/3\int_{0}^{1}xdx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)dx =2/3(x^2/2|_{0}^{1}+(3/2x-x^2/4))|_{1}^{3}=1$ Аналогично, $a_{n}=2/3\int_{0}^{1}x\cos(\pi nx/3)dx+2/3\int_{1}^{3}(3/2-1/2x)\cos(\pi nx/3)dx=\frac{6}{(\pi n)^2}(\cos (\pi n/3)-1)$

Ваш ответ:

Teacode.com: Ряды Фурье