Интеграл

Форумы > Консультация по матанализу > Интеграл

Автор	Сообщение
Настя # 25 мар 2007	Ольга Александровна, вот нам был дан следующий интеграл. $\int{\frac{x^3+6x^2+9x+6}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}dx}$ Мы разложили его на дроби $\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}$ Привели к общему знаменателю, приравняли к числителю $A(x^2+2x+2)+B(x^3+3x^2+4x+2)+(Cx+D)(x^2+2x+2)=x^3+6x^2+9x+6$ Подставили вместо в данное выражение знаменатель нуля $x=-1$ , получили тем самым коэффициент $A=2$ . Какие ещё подставить значения x, чтобы определить коэффициенты $B,C,D$ ? Помогите пожалуйста их найти, а то у меня не получается. Очень прошу.
О.А. # 25 мар 2007	Можно подставлять любые значения, например, $x=0,x=1$ , можно как я уже писала сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа в выражении; $A=2,B=0,C=1,D=2$
Настя # 26 мар 2007	Ольга Александровна, правильно ли получен ответ? $-\frac{2}{x+1}-1/2\ln\|2-(x+2)^2\|+c$
О.А. # 26 мар 2007	Неправильно $I=\frac{-2}{x+1}+(1/2)\ln(x^2+2x+2)+\arctan(x+1)+c$
Настя # 26 мар 2007	а перед арктангенсом не должен стоять коэффициент 2?
Настя # 26 мар 2007	а перед арктангенсом не должен стоять коэффициент 2?
О.А. # 27 мар 2007	Если у вас сомнения, убедиться в правильности ответа можно продифференцировав правую часть и получить подинтегральное выражение
Настя # 28 мар 2007	Ольга Александровна, посмотрите пожалуйста! Очень прошу. Вот мы подставили соответствующие значения коэффициентов в данное разложение и получили, что наш интеграл равнятся: $\int{\frac{x^3+6x^2+9x+6}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}dx}=$ $-\frac{2}{x+1}+\int{\frac{x+2}{ x^2+2x+2}dx}$ Во втором интеграле в знаменателе я выделила полный квадрат, и расписала на сумму интегралов, но $D=2$ , поэтому всё равно получается, что у меня перед арктангенсом коэффициент 2… $\int{\frac{x+2}{ x^2+2x+2}dx}=\int{\frac{x+2}{ (x+1)^2+1}dx}=$ $\int{\frac{x}{ (x+1)^2+1}dx}+\int{\frac{2}{ (x+1)^2+1}dx}=$ $1/2\ln\| x^2+2x+2\|+2arctg(x+1)+c$ Помогите найти ошибку…
О.А. # 28 мар 2007	Неправильно найден интеграл $\int\frac{xdx}{(x+1)^2+1}$ После замены получим $\int\frac{(t-1)dt}{t^2+1}=(1/2)\ln(t^2+1)-\arctan t+c$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться