ДУ и Ряды Фурье

Форумы > Консультация по матанализу > ДУ и Ряды Фурье

Автор	Сообщение
trick # 18 июн 2012	Ранее я уже писал, но опять по тем же вопросом возник ряд проблем. 1) операционный метод $y''+2y'+y=t$ при $y(0)=0,y'(0)=0$ по теореме дифференцирования $y^{(2)}(t)->p^{2}X(p)-py(0)-y'(0),y'(t)->pX(p)-y(0)$ Учитывая начальные условия, получим уравнение $p^2X(p)+2pX(p)+X(p)=\frac{1}{p^2}$ Сл-но, $X(p)=\frac{1}{p^2(p+1)^2}$ Разлагая это выражение на сумму дробей, получим $X(p)=\frac{1}{(p+1)^2}-\frac{2}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{2}{p+1}$ Чем воспользовались для разложение на простые дроби, как это получилось? А также это уравнение нужно решить, так сказать, линейным способом. Я не могу разобраться... оно решается через характеристическое уравнение? Если так, то у меня ответ не совпадает с вашим, полученным при решении операционным методам... То есть ответ в обоих способах вероятно должен быть таким $y(t)=te^{-t}-2+t+2e^{-t}$ 2) По рядам По графику нужно разложить в ряд Фурье, тут яб хотел чтобы помогли, проверить решение. Для кусочно-гладкой на отрезке $[-l,l]$ функции : $a_{0}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx , a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos( \pi nx/l) dx,\;\;b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin (\pi nx/l)dx$ . a) Очевидно что для данного графика l=2 b) $f(x)={1, 0<=x<=1}$ $f(x)={0, 1<=x<=2}$ c) $a_{0}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)dx=\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)dx$ подставляем начальные условия $\int_{0}^{1}1dx+\int_{1}^{2}0dx=1$ d) $a_(n)=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos( \pi nx/2)dx=\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos( \pi nx/2)dx$ также подставляем начальные условия $\int_{0}^{1}\cos( \pi n1/2)dx+\int_{1}^{2}\cos( \pi n0/2)dx$ далее у меня получилась ерунда, которая скорее всего связана с тем что, у меня проблемы с интегрированием. $\frac{2}{\pi n}\sin\frac{n \pi x}{2} \|0,1 +0 = \frac{2}{n \pi}\sin \frac{\pi}{2}$ Выглядит это уж слишком неверно, как мне кажется, вычислять $b_{n}$ не брался потому, как там схожая проблема с интегралом только с косинусом =\ 388 x 268 22.3KB
o_a # 18 июн 2012	1)a)теория разложения на сумму простейших дробей есть в любом учебнике по высшей математике. Данную дробь представляют в виде суммы и затем находят неопределенные коэффициенты $\frac{1}{p^2(p+1)^2}=\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p}+\frac{C}{(p+1)^2}+\frac{D}{p+1}$ b)решение можно найти в учебнике по д.у.сначала ищется решение соответствующего однородного уравнения, затем неоднородного, сумма этих решений дает результат подобные примеры решены в темах данной консультации 2) неверно найден период, он равен $2l=2\Rightarrow l=1$ , поэтому неверно найдены коэффициенты ряда $a_{0}=1,a_{n}=0,b_{n}=\frac{2}{\pi n},n=2k-1$
trick # 19 июн 2012	1) Спасибо, я несколько запутался т.к. у нас это называют методом неопределенных коэффициентов =\ это же уравнение, нужно решить как неоднородное уравнение второго порядка "стандартным" методом. $y''+2y'+y=t$ при $y(0)=0,y'(0)=0$ составляем характеристическое уравнение $k^2+2k+1=0$ $D=0$ $k_{1,2}=-1$ общее решение имеет вид $Y=C_1e^{-t}+C_2te^{-t}$ подставим начальные условия $Y(0)=C_1e^{-10}+C_20e^{-1*0}=C_1$ $Y'=-C_1e^{-t}+C_2e^{-t}-C_2te^{-t}$ $Y'(0)=-C_1+C_2$ составим систему $Y(0)=C_1=0$ $Y'(0)=-C_1+C_2=0$ ' ну и отсюда следует что С1 и C2 = 0 подставляем в общее решение $Y=0e^{-t}+0xe^{-t}=0$ где я ошибаюсь? =\
o_a # 19 июн 2012	Нужно сначала найти решение неоднородного уравнения, и только потом подставлять начальные условия. Решение неоднородного кравнения ищется либо методом неопределенных коэффициентов, либо вариацией произвольной константы, для данного примера оптимальным является первый метод. Решение неоднородного уравнения ищется в виде $y_{1}=At+B$ . Нужно подставить в данное уравнение и найти $A,B$
trick # 19 июн 2012 trick 19 июн 2012	$y''+2y'+y=t$ при $y(0)=0,y'(0)=0$ $y=At+B$ $y'=A$ $y''=0$ $0+2A+At+B=t$ ищем abc $A=1$ $2A+B=0$ $B=-2$ подставляем в исходное $y=t-2$ вроде поправил крайне глупую ошибку.. верно?
o_a # 19 июн 2012	верно, теперь решение имеет вид $y=c1e^{-t}+c2te^{-t}+t-2$ Подставьте в него начальные условия, чтобы найти $c1,c2$
trick # 19 июн 2012	$y=c_1e^{-t}+c_2te^{-t}+t-2$ $y(0)=c_1e^{-0}+c_20e^{-0}+0-2= c_1-2$ $c_1=2$ $y'=-c_1e^{-t}+c_2e^{-t}-c_2te^{-t}+1$ $y'(0)=-c_1e^{-0}+c_2e^{-0}-c_20e^{-0}+1=c_1+c_2+1$ $c_2=1$ если я опять ничего не напутал выходит... $y=2e^{-t}+te^{-t}+t-2$ Сошлось с операционным вычислением) значит верно)) Огромное спасибо. Как я могу вас поблагодарить?)
trick # 19 июн 2012	А блин, еще с ряд Фурье недопилил $f(x)={1, 0<=x<=1}$ $f(x)={0, 1<=x<=2}$ период $2l=2\Rightarrow l=1$ $a_{0}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx$ $a_{0}=\int_{0}^{1}1dx = 1$ далее $a_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos( \pi nx/l) dx$ $a_{n}=\int_{0}^{l}\cos( \pi nx) dx$ $b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin (\pi nx/l)dx$ $b_{n}=\int_{0}^{l}\sin( \pi nx) dx$ это верно? 388 x 268 22.3KB
o_a # 20 июн 2012	оба интеграла ( $a_{n},b_{n}$ )в пределах от нуля до единицы
trick # 24 июн 2012 trick 24 июн 2012	Опять проблема возникла с фурье.. 2) по поводу разбора второго примера, преподаватель требует чтобы было решено таким образом. p.s 2 рисунка прикреплены первый рисунок это то, что дано, второй рисунок, это как потребовал преподаватель преобразовать. Получается функция становится четной, а значит bn=0, период у нее меняется на 4L(и я не совсем понимаю как отсюда обычно находят l, но если я правильно освоил, то в данном случае l=2) и проблема вот в чем: я все оговорки написал, для такого преобразования? не могу разобраться с периодом, и с трудом представляю себе f(x) 388 x 268 24.9KB 388 x 268 22.3KB
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться