Посоветуйте с пределами

Форумы > Консультация по матанализу > Посоветуйте с пределами

Автор	Сообщение
Ольга # 4 ноя 2007	Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста: 1. $Lim((sqrt(1+x)-1)/sin(Pi(x+2)),x->0)$ . Пробовала решать этот предел с применением эквивалентности и домножая на сопряженное , и не могу никак добиться правильного ответа, получается ноль, а правильный ответ (1/(2Pi)). Подскажите в чем ошибка, или как открыть неопределенность. 2. А с этим пределом даже мыслей нет, просто загнал в тупик $Lim((e^(sin(2x))-e^(tan(2x))/ln(2*x/Pi)),x->Pi/2)$ Видела просьбу решить похожий предел, но ответа так и не нашла. Если есть идеи, поделитесь, пожалуйста. За ранее спасибо. С ув., Ольга.
Анатолий # 4 ноя 2007	$(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+o(x)$ $sin(\pi(x+2))=sin(\pi x)$ В следствие $2\pi$ - перbодичности синуса. $sint=t-t^3/3+o(t^3)$ $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{sin(\pi x)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2}x-1+o(x)}{\pi x}=\frac{1}{2\pi}$
Анатолий # 4 ноя 2007	Не совсем понятен второй предел. Имелось ввиду $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac {e^{sin2x} - e^{tg2x}}{ln{\frac{2x}{\pi}}}$
Ольга # 4 ноя 2007	Да, второй предел именно такой. Спасибо за отклик, с первым сейчас разберусь, еще не успела
Ольга # 4 ноя 2007	Действительно, даже не подумала о периодичности функции. Спасибо! все предельно ясно!
Анатолий # 4 ноя 2007	Если имелось ввиду это, то решение следующее: Сделаем для удобства замену: $x-\frac{\pi}{2}=t$ и перепишем предел следующим образом: $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{sin(2t+\pi)}-e^{tg(2t+\pi)}}{ln(\frac{2}{\pi}(t+\frac{\pi}{2}))}=$ $= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{-sin2t}-e^{tg2t}}{ln(\frac{2t}{\pi}+1)}=$ $=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^{-2t+o(t)}-e^{2t+o(t)}}{\frac{2t}{\pi}+o(t)} =$ $= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1-2t-(1+2t)+o(t)}{\frac{2t}{\pi}+o(t)}=$ $= \frac{-4t}{\frac{2t}{\pi}}= -2 \pi$ Использовалось: $e^{x}=1+x+o(x)$ $e^{-x}=1-x+o(x)$ $sinx=x+o(x)$ $tgx=x+o(x)$ $\pi$ -периодична
Ольга # 4 ноя 2007	Я все поняла! Спасибо огромнейшее! Моя ошибка была в том, что сразу пыталась избавиться от основания степени, а не наоборот, навести порядок в показателе.И замену тоже попыталась ввести, но как-то не очень она мне понравилась... Теперь понимаю почему. Век живи, век учись. Еще раз большое спасибо.
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться