Teacode.com: Проверьте пожалуйста

1. Исследовать на сходимость числовой ряд а) Summ (беск.,n=1) (n2^n/5^n) Исследуем по признаку Даламбера: lim(nстремиться к беск.) (n+1)2^n+1*5^n/5^n+1*n2^n)= lim(nстремиться к беск.)(n+1/n)= lim(nстремиться к беск.)(1+1/n)=0. Следовательно ряды сходятся. б) Summ (беск.,n=1) (sinn/n^2) Решаем с помощью 2-ого признака сравнения Unстремится к 0, Vn=1/n^2, lim(nстремиться к беск.)((sinn*n^2)/n^2*1)= lim(nстремиться к беск.)sinn= 1/2=0,5. Согласно 2-му признаку сходится. 2.Найти область сходимости степенного ряда. Summ(беск.,n=1) ((n/n^3+1)*(x+3)^n) 1) R = lim (n*(n^3+1)/(n^3+1)*(n+1))= (n/n+1)=(1/1+1/n)=1, 2) -1<x+3<1 -4<x<-2 3.Найти частное решение диф.уравнения xy'+y=y^2 y(1)=1/2 Решаем методом Бернули: Делим обе части на y^2 (x/y^2)*y'+(1/y)=1, делаем замену z=1/y=y^(-1) z'=1/y^2-y' z'x+z=1, делим на x z'+(z/x)=1/x Делаем: z=uv z'=u'v+uv', следовательно u'v+uv'+(uv/x)=1/x u'v+u(v'+(v/x))=1/x a) v'+(v/x)=0 v=1/x b) u'(1/x)=1/x u'=0 u=c z=uv,значит z=c*x^-1 1/y=c*(1/x) Частное решение: y=1/2 x=1 Подставляем: (1/(1/2))=c/1 c=2, следовательно y=2*x^-1 это и есть частное решение.