Условный екстремум на многообразии

Форумы > Консультация по матанализу > Условный екстремум на многообразии

Автор	Сообщение
Pantera # 3 июн 2006	Ольга Олександровна!!!Большое спасибо Вам за этот форум!Очень познавательно и полезно!!Прошу Вас, помогите вот в чем: исследовать функцию f(x,y,z)=xyz на екстремум, если x^2+y^2+4z^2=1, x>=0,y>=0,z>=0.Спасибо!!!
О.А. # 5 июн 2006	Для исследования на условный экстремум используется метод множителей Лагранжа. Составляется функция Лагранжа $F=xyz+\lambda(x^2+y^2+4z^2-1)$ Затем находят производные по всем переменным, включая $\lambda$ , и приравнивают нулю, чтобы найти стационарные точки, присоединяют урвнение связи: $F_{x}=yz+2x\lambda=0,\;\;F_{y}=xz+2y\lambda=0,\;\;$ $F_{z}=xy+8z\lambda=0,\;\;x^2+y^2+4z^2=1$ Решением данной системы уравнений является точка A $(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/2\sqrt{3})$ Значение $\lambda=-1/(4\sqrt{3})$ Чтобы узнать есть ли экстремум в найденной точке, надо определить знак у второго дифференциала от функции Лагранжа. Для этого находят производные второго порядка от F: $F_{x^{2}}=2\lambda,F_{xy}=z,F_{xz}=y,F_{y^2}=2\lambda,F_{yz}=x,F_{z^2}=8\lambda$ Подставляя в найденные производные точку $A(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/2\sqrt{3})$ , учитывая, что $2xdx+2ydy+8zdz=0$ , нужно все это подставить в формулу для второго дифференциала $d^{2}F=F_{x^2}(dx)^2+2F_{xy}dxdy+2F_{xz}dxdz+2F_{yz}dydz+F_{y^2}(dy)^2+F_{z^2}(dz)^2$ Нетрудно поверить, что знак $d^2F(A)$ получается отрицательный, т.е в точке A -максимум.
Pantera # 5 июн 2006	Спасибо!!!Но это множество по моему есть компактом, а за теоремою Вейерштрасса функция на компакте имеет и минимум и максимум. Можут ли точки виду (0,y,z),(x,0,z),(x,y,0) бить точками минимума????
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Форумы > Консультация по матанализу > Условный екстремум на многообразии

Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться