проверьте, пожалуйста, задачу!

Форумы > Консультация по матанализу > проверьте, пожалуйста, задачу!

Автор	Сообщение
Федюн # 26 дек 2007	Здравствуйте, Ольга Александровна! Проверьте, пожалуйста задачу, а точнее - ее начало, а то дальше что-то не то получается. Задача: из металлической заготовки в форме круга радиуса R вырезают сектор с центр. углом $\alpha$ . Найти такое значение этого угла, при котором объем конуса, полученного свертыванием этого сектора, будет максимальным. Вот, что я решил: Пусть $\beta$ - 1/2 угла при вершине конуса; h - высота конуса; L=R - образующая конуса; $R_{osn}$ - радиус основания конуса. Тогда площадь сектора будет равна бок. площади конуса. $S_{sekt}=R^2\alpha$ , $\alpha$ в радианной мере. $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R_{osn}R$ , где $R_{osn}=L sin\beta=R sin\beta$ , $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R sin\beta R=\pi R^2 sin\beta$ , Приравняем площади: $R^2\alpha=\pi R^2 sin\beta$ Получим: $sin\beta= \frac{\alpha}{\pi}$ или $\beta= arcsin(\frac{\alpha}{\pi})$ Объем конуса: $V_{kon}= \frac{1}{3}S_{osn}h=\frac{1}{3}\pi R_{osn}^2 h=\frac{1}{3}\pi (R sin\beta)^2 h=\frac{\pi R^2}{3}(\frac{\alpha}{\pi})^2 h=\frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 h$ $h=L cos \beta=R cos \beta= R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ Тогда: $V_{kon}= \frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))=\frac{R^3}{3 \pi} \alpha^2 cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ А дальше через первую производную решаем. Только вот вопрос - правильно ли все сделано, а то производная получается сложной и найти ее нулевые значения непросто - там и синус, и косинус от арксинуса... Заранее благодарю за помощь.
О.А. # 26 дек 2007	Здравствуйте! По-моему, ход решения верный, только площадь сектора $S=\alpha R^2/2$ и еще известна формула $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Автор

Сообщение

Федюн #
26 дек 2007

Здравствуйте, Ольга Александровна! Проверьте, пожалуйста задачу, а точнее - ее начало, а то дальше что-то не то получается. Задача: из металлической заготовки в форме круга радиуса R вырезают сектор с центр. углом $\alpha$ . Найти такое значение этого угла, при котором объем конуса, полученного свертыванием этого сектора, будет максимальным. Вот, что я решил: Пусть $\beta$ - 1/2 угла при вершине конуса; h - высота конуса; L=R - образующая конуса; $R_{osn}$ - радиус основания конуса. Тогда площадь сектора будет равна бок. площади конуса. $S_{sekt}=R^2\alpha$ , $\alpha$ в радианной мере. $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R_{osn}R$ , где $R_{osn}=L sin\beta=R sin\beta$ , $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R sin\beta R=\pi R^2 sin\beta$ , Приравняем площади: $R^2\alpha=\pi R^2 sin\beta$ Получим: $sin\beta= \frac{\alpha}{\pi}$ или $\beta= arcsin(\frac{\alpha}{\pi})$ Объем конуса: $V_{kon}= \frac{1}{3}S_{osn}h=\frac{1}{3}\pi R_{osn}^2 h=\frac{1}{3}\pi (R sin\beta)^2 h=\frac{\pi R^2}{3}(\frac{\alpha}{\pi})^2 h=\frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 h$ $h=L cos \beta=R cos \beta= R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ Тогда: $V_{kon}= \frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))=\frac{R^3}{3 \pi} \alpha^2 cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ А дальше через первую производную решаем. Только вот вопрос - правильно ли все сделано, а то производная получается сложной и найти ее нулевые значения непросто - там и синус, и косинус от арксинуса... Заранее благодарю за помощь.

О.А. #
26 дек 2007

Здравствуйте! По-моему, ход решения верный, только площадь сектора $S=\alpha R^2/2$ и еще известна формула $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$

Форумы > Консультация по матанализу > проверьте, пожалуйста, задачу!

Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Teacode.com: проверьте, пожалуйста, задачу!