Поиск
Ольга
#
17 сен 2014
|
Здравствуйте. В последнем примере: Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 100 - 4 x^2 - 4 y^2 , z = 64, не понятно, как получился такой интеграл и пределы интегрирования? С построением графика вроде все понятно, только можно ли х взять от -3 до 3? Заранее спасибо
|
o_a
#
17 сен 2014
|
Здравствуйте.
Для того, чтобы найти пределы интегрирования надо решить систему двух уравнений: ![$100-4x^2-4y^2=64\Rightarrow x^2+y^2=9$ $100-4x^2-4y^2=64\Rightarrow x^2+y^2=9$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=100-4x%5E2-4y%5E2%3D64%5CRightarrow+x%5E2%2By%5E2%3D9&fontsize=21) Таким образом, интегрирование должно пройти по окружности, поэтому целесообразно перейти в полярную систему координат. В приведенном на слайде решении проделана замена переменной в двойном интеграле (сделан переход к полярной системе координат) ![$x=\rho\cos t,y=\rho\sin t$ $x=\rho\cos t,y=\rho\sin t$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=x%3D%5Crho%5Ccos+t%2Cy%3D%5Crho%5Csin+t&fontsize=21) Учитывая, что при замене переменной нужно, используя теорему, учесть формулу: ![$\int\int_{D}f(x,y)dxdy=\int\int_{D1}f(\rho,t)|I|d\rho dt$ $\int\int_{D}f(x,y)dxdy=\int\int_{D1}f(\rho,t)|I|d\rho dt$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Cint%5Cint_%7BD%7Df%28x%2Cy%29dxdy%3D%5Cint%5Cint_%7BD1%7Df%28%5Crho%2Ct%29%7CI%7Cd%5Crho+dt&fontsize=21) , где ![$I-$ $I-$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=I-&fontsize=21) якобиан перехода и он равен ![$\rho$ $\rho$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Crho&fontsize=21) . Получим, что ![$V=\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{3}(36-4\rho^2)\rho d\rho=162\pi$ $V=\int_{0}^{2\pi}dt\int_{0}^{3}(36-4\rho^2)\rho d\rho=162\pi$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=V%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7Ddt%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%2836-4%5Crho%5E2%29%5Crho+d%5Crho%3D162%5Cpi&fontsize=21)
Замена переменной под знаком интеграла подробно описана в учебнике по математическому анализу Садовничий В.А. часть 2. Можно посмотреть и по адресу http://matan.isu.ru/maple/index.html
|
Ваш ответ:
|
|
Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться