Степенной ряд

Автор	Сообщение
Silov # 15 дек 2008	Подскажите пожалуйста, как можно разложить в степенной ряд следующие функции: $f(x)=ln(1+x+x^2)$ , $W_n=(n/2^n)x^n(x+1)^n$
О.А. # 21 мая 2005	Можно использовать представление: $\ln(1+x+x^2)=\ln \frac{1-x^3}{1-x}$ .Далее используем свойство логарифмов: $\ln\frac{1-x^3}{1-x}=\ln (1-x^3)-\ln(1-x)$ Далее используя известное разложение в ряд по степеням x для логарифма, получим: $\ln(1-x^3)=-x^3-x^6/2-x^9/3-...-x^{3n}/n+...\|x^3\|<1,$ $\ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-...-x^n/n-...,\|x\|<1$ Поэтому $\ln(1+x+x^2)=-x-x^2/2-4x^3/3-x^4/4-x^5/5-3x^6/2-x^7/7-...,\|x\|<1$ Что касается второй функции нужно уточнить по каким степеням нужно произвести разложение, т.к. она является полиномом степени 2n и фактически уже имеет представление как по степеням x, так и по степеням x+1
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Silov #
15 дек 2008

Подскажите пожалуйста, как можно разложить в степенной ряд следующие функции: $f(x)=ln(1+x+x^2)$ , $W_n=(n/2^n)x^n(x+1)^n$

О.А. #
21 мая 2005

Можно использовать представление: $\ln(1+x+x^2)=\ln \frac{1-x^3}{1-x}$ .Далее используем свойство логарифмов: $\ln\frac{1-x^3}{1-x}=\ln (1-x^3)-\ln(1-x)$ Далее используя известное разложение в ряд по степеням x для логарифма, получим: $\ln(1-x^3)=-x^3-x^6/2-x^9/3-...-x^{3n}/n+...|x^3|<1,$ $\ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-...-x^n/n-...,|x|<1$ Поэтому $\ln(1+x+x^2)=-x-x^2/2-4x^3/3-x^4/4-x^5/5-3x^6/2-x^7/7-...,|x|<1$ Что касается второй функции нужно уточнить по каким степеням нужно произвести разложение, т.к. она является полиномом степени 2n и фактически уже имеет представление как по степеням x, так и по степеням x+1

Ваш ответ:

Teacode.com: Степенной ряд