формула Стокса

Форумы > Консультация по матанализу > формула Стокса

Автор	Сообщение
SpY # 22 янв 2006	НЕОБХОДИМО: Вычислить по формуле Стокса и непосредственно модуль циркуляции векторного поля а вдоль контура Г: a=yi+zj+xk {далее система, задан контур} Г= x2+y2+z2=25 z=3
О.А. # 22 янв 2006	Формула Стокса $\int_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{S}\int(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dxdz+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dydx$ В данной задаче $P=y,\;Q=z,\;R=x$ Поэтому $\int_{L}ydx+zdy+xdz=\int_{S}\int(-dydx-dzdx-dxdy)$ Учитывая, что в сечении шара плоскостью $z=3$ получается окружность: $x^2+y^2=16$ получим, что циркуляция равна: $\int_{L}ydx+zdy+xdz=-\int\int_{S}dxdy=\Pi r^2$ , где $r=4$ -радиус окружности, полученной в сечении шара плоскостью $z=3$ , т.о. $\|\int_{L}ydx+zdy+xdz\|=16\Pi$ Непосредственное вычисление: $\int_{L}ydx+zdy+xdz=\int_{x^2+y^2=16,z=3}ydx+zdy+xdz=$ $\int_{x=4\cos t,y=4\sin t,z=3}ydx+3dy=$ $=\int_{0}^{2\Pi}(-16\sin^2 t+12\cos t)dt=-16\Pi$
SpY # 23 янв 2006	Паралельно решаю ещё 2 похожих примера, так как ваще решение слегка отличается от моего, хотелось бы узанать именно ваше.. Задание тоже самое. НЕОБХОДИМО: Вычислить по формуле Стокса и непосредственно модуль циркуляции векторного поля а вдоль контура Г: 1) $a=(x-y)i+(z-y)j-(z-1)k$ Г= $x^2+y^2=z^2$ $z=2$ 2) $a=2(x+y)i+5(y+z)j-3(z+x)k$ Г= $2x^2+2y^2=7$ $x+y+z=3$
SpY # 23 янв 2006	больше интересует конечно 2-е задание, потому что там пересечение конуса с плоскостью. А по ходу решения необходим переход в полярные координаты, интересует как это осуществить в этой задаче.
SpY # 23 янв 2006	ошибся.. не конуса, а цилиндра сплоскостью :)
О.А. # 24 янв 2006	Вычисляя по формуле Стокса, получим $I=\int_{L}2(x+y)dx+5(y+z)dy-3(z+x)dz=\int_{S}\int-5dydz+3dxdz-2dxdy$ $=\int_{S}\int(-5\cos\alpha+3\cos\beta-2\cos\gamma)dS$ ,где S-множество $2x^2+2y^2=7,x+y+z=3$ Множество S проектируется на плоскость XOYв круг $2x^2+2y^2\leq 7$ . Переходя от поверхностного интеграла к двойному и учитывая, что $\cos\alpha dS=-z_{x}dxdy=dxdy,\;\cos\beta dS=-z_{y}dxdy=dxdy,\;\cos\gamma dS=dxdy,$ получим $I=-4\int\int_{2x^2+2y^2\leq 7}dxdy=-4\pi(7/2)=-14\pi$ .
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться