Teacode.com: Неопределенный интеграл и производная

1). У нас функция y зависит от x неявным образом. Поэтому возьмем производную по x от левой и правой части, считая что y=y(x), затем выразим из полученного уравнения y'(x): [1/Корень(x^2+y^2)]*[1/(2*(x^2+y^2))]*[2x+2yy']=[-1/(1+x^2/y^2)]*[(y-xy')/y^2] Упростим уравнение: (2x+2yy')/(2*(x^2+y^2))=(xy'-y)/(y^2+x^2); x+yy'=xy'-y; y'*(y-x)=-y-x; y'=(x+y)/(x-y); 2. а) Здесь надо поднести под знак интеграла Корень(1-x^2) т.е. Интеграл(1/(Корень((1-х^2)*Arcsin(x))))dx= =Интеграл(1/(Корень(Arcsin(x))))d(Arcsin(x))=2*Корень(Arcsin(x))+C; 2. б) Раскроем скобки под интегралом: Интеграл(1-2*Sin(2x)+(Sin(2x))^2)dx Разобъем на два интеграла I1=Интеграл(1-2*Sin(2x))dx и I2=Интеграл(Sin(2x))^2)dx; I1=x+Cos(2x)+C1; Значение I2 найдем по частям: I2=[u=(Sin(2x))^2, dv=dx; тогда du=4*Sin(2x)*Cos(2x), v=x]= =x*(Sin(2x))^2-Интеграл(4*x*Sin(2x)*Cos(2x))dx= =x*(Sin(2x))^2-Интеграл(2*x*Sin(4x))dx; В этом выражении второй интеграл тоже по частям, т.е. Интеграл(2*x*Sin(4x))dx=[u=x, dv=2*Sin(4x)dx; тогда du=dx, v=-Cos(4x)/2]= =x*Cos(4x)/2-Интеграл(Cos(4x)/2)dx=x*Cos(4x)/2-Sin(4x)/8+C2; Собираем все в кучу, т.е. I2=x*(Sin(2x))^2-x*Cos(4x)/2+Sin(4x)/8+C2; Тогда Первоначальный интеграл I=I1+I2= =x+Cos(2x)+C1+x*(Sin(2x))^2-x*Cos(4x)/2+Sin(4x)/8+C2=x+Cos(2x)+x*(Sin(2x))^2-x*Cos(4x)/2+Sin(4x)/8+C; Упростив это выражение, получим, что I=x+Cos(2x)+x/2-Sin(4x)/8=3*x/2+Cos(2x)+x/2-Sin(4x)/8; Проверял все в Mathematica5.1!

Серега, спасибо! Буду сейчас сидеть разбираться! Спасибо!

В последнем примере еще можно сложить 3*x/2 и x/2 => 2x.

НЕТ НЕТ НЕТ! НЕ ВЗДУМАЙТЕ!!! ЭТО Я ЗРЯ НАПИСАЛ ДВА РАЗА X/2 вСЕ УЖЕ СЛОЖЕНО!!!!