Поиск
Федюн
#
26 дек 2007
|
Здравствуйте, Ольга Александровна!
Проверьте, пожалуйста задачу, а точнее - ее начало, а то дальше что-то не то получается.
Задача:
из металлической заготовки в форме круга радиуса R вырезают сектор с центр. углом ![$\alpha$ $\alpha$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Calpha&fontsize=21) . Найти такое значение этого угла, при котором объем конуса, полученного свертыванием этого сектора, будет максимальным.
Вот, что я решил:
Пусть ![$\beta$ $\beta$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Cbeta&fontsize=21) - 1/2 угла при вершине конуса; h - высота конуса; L=R - образующая конуса; ![$R_{osn}$ $R_{osn}$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=R_%7Bosn%7D&fontsize=21) - радиус основания конуса.
Тогда площадь сектора будет равна бок. площади конуса.
![$S_{sekt}=R^2\alpha$ $S_{sekt}=R^2\alpha$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=S_%7Bsekt%7D%3DR%5E2%5Calpha&fontsize=21) , ![$\alpha$ $\alpha$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Calpha&fontsize=21) в радианной мере.
![$S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R_{osn}R$ $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R_{osn}R$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=S_%7Bbok%7D%3D%5Cpi+R_%7Bosn%7DL%3D%5Cpi+R_%7Bosn%7DR&fontsize=21) , где ![$R_{osn}=L sin\beta=R sin\beta$ $R_{osn}=L sin\beta=R sin\beta$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=R_%7Bosn%7D%3DL+sin%5Cbeta%3DR+sin%5Cbeta&fontsize=21) ,
![$S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R sin\beta R=\pi R^2 sin\beta$ $S_{bok}=\pi R_{osn}L=\pi R sin\beta R=\pi R^2 sin\beta$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=S_%7Bbok%7D%3D%5Cpi+R_%7Bosn%7DL%3D%5Cpi+R+sin%5Cbeta+R%3D%5Cpi+R%5E2+sin%5Cbeta&fontsize=21) ,
Приравняем площади: ![$R^2\alpha=\pi R^2 sin\beta$ $R^2\alpha=\pi R^2 sin\beta$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=R%5E2%5Calpha%3D%5Cpi+R%5E2+sin%5Cbeta&fontsize=21)
Получим: ![$sin\beta= \frac{\alpha}{\pi}$ $sin\beta= \frac{\alpha}{\pi}$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=sin%5Cbeta%3D+%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cpi%7D&fontsize=21) или ![$\beta= arcsin(\frac{\alpha}{\pi})$ $\beta= arcsin(\frac{\alpha}{\pi})$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=%5Cbeta%3D+arcsin%28%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cpi%7D%29&fontsize=21)
Объем конуса:
![$h=L cos \beta=R cos \beta= R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ $h=L cos \beta=R cos \beta= R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=h%3DL+cos+%5Cbeta%3DR+cos+%5Cbeta%3D+R+cos+%28arcsin%28%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cpi%7D%29%29&fontsize=21)
Тогда:
![$V_{kon}= \frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))=\frac{R^3}{3 \pi} \alpha^2 cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$ $V_{kon}= \frac{R^2}{3 \pi} \alpha^2 R cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))=\frac{R^3}{3 \pi} \alpha^2 cos (arcsin(\frac{\alpha}{\pi}))$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=V_%7Bkon%7D%3D+%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B3+%5Cpi%7D+%5Calpha%5E2+R+cos+%28arcsin%28%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cpi%7D%29%29%3D%5Cfrac%7BR%5E3%7D%7B3+%5Cpi%7D+%5Calpha%5E2+cos+%28arcsin%28%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Cpi%7D%29%29&fontsize=21)
А дальше через первую производную решаем.
Только вот вопрос - правильно ли все сделано, а то производная получается сложной и найти ее нулевые значения непросто - там и синус, и косинус от арксинуса...
Заранее благодарю за помощь.
|
О.А.
#
26 дек 2007
|
Здравствуйте! По-моему, ход решения верный, только площадь сектора ![$S=\alpha R^2/2$ $S=\alpha R^2/2$](http://teacode.com/service/latex/latex.png?latex=S%3D%5Calpha+R%5E2%2F2&fontsize=21) и еще известна формула
|
Ваш ответ:
|
|
Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться