Область сходимости ряда

Автор	Сообщение
Lenin # 3 апр 2005	Здравствуйте, Ольга Александровна. Все решил, кроме этого примера: Найти область сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$
О.А. # 3 апр 2005	Здравствуйте, Володя. Чтобы найти область сходимости, надо сначала найти радиус сходимости по формуле Коши-Адамара $R=\frac{1}{lim_{n\rightarrow \infty}n\sqrt{\|a_n\|}}$ Тогда область сходимости определяется неравенством: $\|x\|<R$ . Для данного примера $R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty}(1+1/n)^n}=\frac{1}{e}$ .Следовательно, область сходимости $\|x\|<\frac{1}{e}$ . Исследуем поведение ряда на концах отрезка, т.е. при $x=\pm \frac{1}{e}$ Подставим значение $x=1/e$ в ряд. Получим ряд $\sum_{1}^{\infty}((1+1/n)^n)^n\frac{1}{e^{n}}$ .Общий член данного ряда $a_{n}=e^{n^{2}\ln(1+1/n)-n}\rightarrow e^{-1/2},n\rightarrow \infty$ Следовательно, ряд расходится, так же как и ряд $\sum_{1}^{\infty}((1+1/n)^n)^n\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}$ .Поэтому область сходимости исходного ряда $\|x\|<\frac{1}{e}$ .
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Lenin #
3 апр 2005

Здравствуйте, Ольга Александровна. Все решил, кроме этого примера: Найти область сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$

О.А. #
3 апр 2005

Здравствуйте, Володя. Чтобы найти область сходимости, надо сначала найти радиус сходимости по формуле Коши-Адамара $R=\frac{1}{lim_{n\rightarrow \infty}n\sqrt{|a_n|}}$ Тогда область сходимости определяется неравенством: $|x|<R$ . Для данного примера $R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow \infty}(1+1/n)^n}=\frac{1}{e}$ .Следовательно, область сходимости $|x|<\frac{1}{e}$ . Исследуем поведение ряда на концах отрезка, т.е. при $x=\pm \frac{1}{e}$ Подставим значение $x=1/e$ в ряд. Получим ряд $\sum_{1}^{\infty}((1+1/n)^n)^n\frac{1}{e^{n}}$ .Общий член данного ряда $a_{n}=e^{n^{2}\ln(1+1/n)-n}\rightarrow e^{-1/2},n\rightarrow \infty$ Следовательно, ряд расходится, так же как и ряд $\sum_{1}^{\infty}((1+1/n)^n)^n\frac{(-1)^{n}}{e^{n}}$ .Поэтому область сходимости исходного ряда $|x|<\frac{1}{e}$ .

Ваш ответ:

Teacode.com: Область сходимости ряда