Площадь поверхности

Автор	Сообщение
Student # 21 мая 2005	Кто-нибудь может пожсказать, как решить такую задачу:) Пусть M - поверхность,заданная соотношением $x^2=2yz$ , найти площадь этой поверхности, ограниченной плоскостями: y=0, z=0, $2y+z=1$ . Помогите дибилу, спасайте идиота:))
О.А. # 21 мая 2005	Известна формула для вычисления площади поверхности $S=\int_{D}\int\sqrt{1+x_{y}^2+x_{z}^2}dydz$ Находим $(1+x_{y}^2+x_{z}^2)=\frac{(z+y)^2}{2zy}$ Т.к. $x_{y}=z/x,\;x_{z}=y/x$ Учитывая уравнения плоскостей имеем пределы: $\int_{0}^{1/2}dy\int_{0}^{1-2y}\frac{z+y}{\sqrt{2yz}}dz=$ $=(1/\sqrt{2})\int_{0}^{1/2}(2/3y^{-1/2}(1-2y)^{3/2}+2\sqrt{y}\sqrt{1-2y})dy=$ $(1/\sqrt{2})(2/3)(1/\sqrt{2})B(1/2,5/2)+(2/\sqrt{2})(1/2\sqrt{2})B(3/2,3/2)=$ $=1/3\frac{\Gamma (1/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(3)}+1/2\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}=$ $=\frac{3\pi}{16}$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Student #
21 мая 2005

Кто-нибудь может пожсказать, как решить такую задачу:) Пусть M - поверхность,заданная соотношением $x^2=2yz$ , найти площадь этой поверхности, ограниченной плоскостями: y=0, z=0, $2y+z=1$ . Помогите дибилу, спасайте идиота:))

О.А. #
21 мая 2005

Известна формула для вычисления площади поверхности $S=\int_{D}\int\sqrt{1+x_{y}^2+x_{z}^2}dydz$ Находим $(1+x_{y}^2+x_{z}^2)=\frac{(z+y)^2}{2zy}$ Т.к. $x_{y}=z/x,\;x_{z}=y/x$ Учитывая уравнения плоскостей имеем пределы: $\int_{0}^{1/2}dy\int_{0}^{1-2y}\frac{z+y}{\sqrt{2yz}}dz=$ $=(1/\sqrt{2})\int_{0}^{1/2}(2/3y^{-1/2}(1-2y)^{3/2}+2\sqrt{y}\sqrt{1-2y})dy=$ $(1/\sqrt{2})(2/3)(1/\sqrt{2})B(1/2,5/2)+(2/\sqrt{2})(1/2\sqrt{2})B(3/2,3/2)=$ $=1/3\frac{\Gamma (1/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(3)}+1/2\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}=$ $=\frac{3\pi}{16}$

Ваш ответ:

Teacode.com: Площадь поверхности