Несобственный интеграл

Автор	Сообщение
Алексей # 22 июн 2006	Здравствуйте!Помогите проверить несобственный интеграл на сходимость и вычислить его,если он сходиться: 2x/x^2 +1, от a-минус бесконечности до b-бесконечности. И найти площать области указанной линиями: y=ln3x; y=ln(x^2 +2)
О.А. # 24 июн 2006	1)нужно использовать определение несобственного интеграла: $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0}\frac{2xdx}{x^2+1}+\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}\frac{2xdx}{x^2+1}=\lim_{a\rightarrow -\infty}\ln(x^2+1)\|_{a}^{0}+\lim_{b\rightarrow +\infty}\ln(x^2+1)\|_{0}^{b}=$ $-\lim_{a\rightarrow -\infty}\ln(a^2+1)+\lim_{b\rightarrow +\infty}\ln(b^2+1)$ Т. е. данный интеграл расходится, однако, если вычислять главное значение данного интеграла, то оно равно нулю,т.к. по определению в этом случае $a=b$ ,т.е $V.p.\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=0$ 2) для вычисления площади используется стандартная формула $S=\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx=\int_{1}^{2}(\ln 3x-\ln(x^2+2))dx$ Для вычисления интеграла используется формула интегрирования по частям, поэтому окончательно получим: $S=1-2\sqrt{2}\arctan\sqrt{2}+2\sqrt{2}\arctan (\sqrt{2}/2)$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Алексей #
22 июн 2006

Здравствуйте!Помогите проверить несобственный интеграл на сходимость и вычислить его,если он сходиться: 2x/x^2 +1, от a-минус бесконечности до b-бесконечности. И найти площать области указанной линиями: y=ln3x; y=ln(x^2 +2)

О.А. #
24 июн 2006

1)нужно использовать определение несобственного интеграла: $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=\lim_{a\rightarrow -\infty}\int_{a}^{0}\frac{2xdx}{x^2+1}+\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}\frac{2xdx}{x^2+1}=\lim_{a\rightarrow -\infty}\ln(x^2+1)|_{a}^{0}+\lim_{b\rightarrow +\infty}\ln(x^2+1)|_{0}^{b}=$ $-\lim_{a\rightarrow -\infty}\ln(a^2+1)+\lim_{b\rightarrow +\infty}\ln(b^2+1)$ Т. е. данный интеграл расходится, однако, если вычислять главное значение данного интеграла, то оно равно нулю,т.к. по определению в этом случае $a=b$ ,т.е $V.p.\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=0$ 2) для вычисления площади используется стандартная формула $S=\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx=\int_{1}^{2}(\ln 3x-\ln(x^2+2))dx$ Для вычисления интеграла используется формула интегрирования по частям, поэтому окончательно получим: $S=1-2\sqrt{2}\arctan\sqrt{2}+2\sqrt{2}\arctan (\sqrt{2}/2)$

Ваш ответ:

Teacode.com: Несобственный интеграл