Интеграл зависящий от параметра

Форумы > Консультация по матанализу > Интеграл зависящий от параметра

Автор	Сообщение
Антон # 21 июн 2007	f(a)= $\int\frac{ln(x^2+a^2)}{\{x^2+b^2}}dx$ интеграл от 0 до + бесконечности. b<>0 (не равно нулю) - фиксировано. a - параметр. Задание: 1) при каких "а" интеграл сходится 2) при каких "а" дифф-ся 3) при каких "а" непрерывно дифф-ся 4) вычислить f'(a) Чем сможете, помогите, пожалуйста
Антон # 22 июн 2007	при x--> + бесконечности $\int\frac{ln(x^2+a^2)}{\{x^2+b^2}}dx$ ----> $\frac{(x^e)}{\{x^2}}$ здесь я заменил логарифм на х в любой степени, это не ошибка? если можно, cледовательно интеграл сходится при любых а при х--> 0 $\int\frac{ln(x^2+a^2)}{\{x^2+b^2}}dx$ ----> $\frac{ln(a^2)}{\{b^2}}$ cледовательно сх-ся при любых а и вообще точка 0 не является особой Как показать что f(a) дифф-ма? дифф-ма, т.к. существует конечный придел? Т.е. по определению? Можно как-нибудь проще? А чтобы показать, что она непрерывно дифф-ма покажем что производная этой функции сх-ся. Так правильно? f'(a)= $\frac{(2a)}{\{x^2+b^2}({x^2+a^2})}$ так я нашёл производную функции f(a). Вопрос такой, я правильно взял производную по a или нужно было брать по x? при x--> бесконечности $\frac{(2a)}{\{x^2+b^2}({x^2+a^2})}$ -----> $\frac{(2a)}{\{x^4}}$ сх-ся при любом а при х--> 0 $\frac{(2a)}{\{x^2+b^2}({x^2+a^2})}$ -----> $\frac{(2a)}{\{b^2a^2}}=\frac{(2)}{\{b^2a}}$ при a<>0 (не равно 0) сх-ся Ещё раз прошу помочь хоть чем-нибудь, пожалуйста
О.А. # 22 июн 2007	функции $f(a)=\frac{\ln(a^2+x^2)}{b^2+x^2},\;f'_{a}=\frac{2a}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)}$ -непрерывны при $x\in(0,\infty),\forall a\in R$ Инеграл равномерно сходится на основании признака Вейерштрасса на любом сегменте $\|a\|\leq A$ ,т.к. $\frac{\|\ln(a^2+x^2)\|}{b^2+x^2}\leq \frac{g(x)}{b^2+x^2}$ , где $g(x)=\max(\|\ln(A^2+x^2)\|,\|\ln x^2\|)$ $f'_{a}$ тоже равномерно сходится при $0<\epsilon\leq \|a\|\leq\|A\|$ Чтобы вычислить $f(a)$ надо проинтегрировать $f'(a)$ по переменной $x$ , получим $f'(a)=\frac{\pi a}{\|a\|\|b\|(\|a\|+\|b\|)}$ Из этого равенства надо найти $f(a)=\frac{\pi}{\|b\|}\ln(\|a\|+\|b\|)+c$ Произвольная константа находится из данного интеграла $f(0)=\pi\frac{\ln\|b\|}{\|b\|}$ Сл-но, $c=0$
Антон # 22 июн 2007	СПАСИБО ОГРОМНОЕ!!! Скажите, пожалуйста, как показать что $f(a)=\frac{\ln(a^2+x^2)}{b^2+x^2}$ дифф-ма и непрерывно дифф-ма и при каких значениях "а" или хотя бы какое условие должно выполняться чтобы показать что функция дифф-ма и соотвтественно непрерывно дифф-ма?
О.А. # 22 июн 2007	Это я уже написала , смотрите выше значения параметра $a$ , используйте признак Вейерштрасса
Антон # 22 июн 2007	Разобрался. Спасибо Вам ОГРОМНОЕ!!!
Антон # 22 июн 2007	Извиняюсь, а можно подробно как мы проинтегрировали $f'(a)$ по переменной $x$
О.А. # 22 июн 2007	Надо подинтегральное выражение разложить на сумму двух дробей $\frac{Ax+B}{x^2+a^2}+\frac{Cx+D}{x^2+b^2}$ , затем проинтегрировать, интегралы табличные(первообразные равны $\arctan$ )
Антон # 23 июн 2007	нашёл коэф-ты $A=C=0$ $B=\frac{-2a}{-b^2+a^2}$ $D=\frac{2a}{-b^2+a^2}$ затем проинтегрировал и получилось $\frac{-2}{-b^2+a^2}\arctan{\frac{x}{a}}+\frac{2a}{(-b^2+a^2)b}\arctan{\frac{x}{b}}+C$ но как привести к виду $\frac{\pi a}{\|a\|\|b\|(\|a\|+\|b\|)}$ ???
Антон # 23 июн 2007	$\frac{-2}{-b^2+a^2}\arctan{\frac{x}{a}}+\frac{2a}{(-b^2+a^2)b}\arctan{\frac{x}{b}}$ Подставим $x=beskon$ и вычтем $x=0$ т.к. $arctan(0)=0$ , а $arctan(beskon')=\frac{\pi}{2}$ получим $\frac{-\pi a}{\|a\|(a^2-b^2)}+\frac{\pi a}{\|b\|(a^2-b^2)}=\frac{-\|b\|\pi a+a\|a\|\pi}{\|a\|\|b\|(\|a\|+\|b\|)(\|a\|-\|b\|)}=\frac{\pi a}{\|a\|\|b\|(\|a\|+\|b\|)}$ Но откуда в первой дроби $\frac{-\pi a}{\|a\|(a^2-b^2)}$ в числители взяли $a$ ?
Антон # 23 июн 2007	Со всем разобрался, проблема была в том, что надо было заменить sign(a) (знак а) на $\frac{a}{\|a\|}$ и соответственно с b тоже самое. Ещё раз СПАСИБО!!!
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться