Форумы > Консультация по матанализу > Площадь

Поиск
Автор Сообщение
Коваль Иван #
30 мая 2008
Помогите вычислить площадь, ограниченную следующей кривой. (y^3+x^3)^2=x^2+y^2 необходимо вычислить ее, перейдя к полярным координатам Я делаю переход x= r sin k y= r cos k Потом эти значения подставляю в функцию и получаю что r^(-4)=(cos^3k+sin^3k)^2 Не скромный вопрос: что дальше?
О.А. #
30 мая 2008
прежде всего построить график, выяснить, замкнута или нет данная кривая
Коваль Иван #
30 мая 2008
я не могу сообразить как выглядит график этой кривой.(
О.А. #
30 мая 2008
данная кривая незамкнута
Коваль Иван #
30 мая 2008
и что из этого следует? Помогите, пожалуйста, найти площадь.
О.А. #
30 мая 2008
а то, что вам надо уточнить условие примера
Коваль Иван #
30 мая 2008
http://keep4u.ru/imgs/b/080530/94/946f058503200f2891.jpg
Коваль Иван #
31 мая 2008
как правельно параметризацию провести?
О.А. #
31 мая 2008
а почему вы считаете, что условия $x\geq 0,y\geq 0$-несущественны? А как раз без этих условий кривая незамкнута.Производя переход к полярным координатам, получим$(\rho^3(\cos^3\phi+\sin^3\phi))^2=\rho^2\Rightarrow \rho=\frac{1}{\sqrt{\cos^3\phi+\sin^3\phi}}$Таким образом площадь фигуры :$S=\int_{0}^{\pi/2}d\phi\int_{0}^{1/\sqrt{\cos^3\phi+\sin^3\phi}}\rho d\rho=(1/2)\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sin^3\phi+\cos^3\phi}=\pi/6+(\sqrt{2}/6)\ln(\frac{\tan(\pi/4+\pi/8)}{\tan \pi/8})$Можно вычислить $\tan\pi/8=\sqrt{2}-1$
Коваль Иван #
31 мая 2008
Ольга Александровна, я в принципе, дошел до вот этого $(1/2)\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\phi}{\sin^3\phi+\cos^3\phi}$ но что сделать с синусом и косинусом придумать не смог. Поджскажите, пожалуйста. P.S. Очень признателен Вам за помощь.
О.А. #
31 мая 2008
надо разложить знаменатель по формуле сумма кубов$\sin^3\phi+\cos^3 \phi=(\sin\phi+\cos\phi)(1-\sin\phi\cos\phi)$,затем преобразовать числитель$(1/3)((\sin\phi+\cos\phi)^2+2(1-\sin\phi\cos\phi))$
Коваль Иван #
1 июн 2008
там получается еще море выклодок? как вы так быстро получаете ответ? у меня интеграл от слогаемого включающее в себя (1-sinфиcosфи) в числителе приходит к нулю %)
О.А. #
2 июн 2008
я и так уделила вам много внимания, решать за вас я не буду

Форумы > Консультация по матанализу > Площадь
Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

© teacode.com, 2004-2016