непрерывность функции

Форумы > Консультация по матанализу > непрерывность функции

Автор	Сообщение
Аня # 19 ноя 2009	Добрый день, Ольга Александровна. Подскажите, пожалуйста, решение ниже данных примеров. Задание: доопределить до непрерывности. 1)(1+х)^(1/x) , x не равен 0. 2)y = ((1+2x)^(1/2) - 1)/sinx , при х=0 Заранее благодарю!:)
О.А. # 19 ноя 2009	Добрый день, Аня. Чтобы доопределить до непрерывности функцию в указанной точке, надо задать эту функцию так, чтобы она стала непрерывной в данной точке. Для этого используем определение непрерывной функции в точке $f(x)$ непрерывна в точке $x0$ , если $\lim_{x\rightarrow x0}f(x)=f(x0)$ Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти предел в указанной точке, в данном случае в $x=0$ Сл-но, находим предел $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}=e$ , $f(x)=\{(1+x)^{1/x},x\neq 0,e,x=0$ Аналогично решается и второй пример, нужно найти предел функции в точке $x=0$
Яна # 19 ноя 2009	Добрый вечер,Ольга Александровна, второй пример решается следующим образом: 2)у = ((1+2x)^(1/2)-1)/sinx Lim(x->0) у = [0/0] = =Lim(x->0)((1+2x)^(1/2)-1)((1+2x)^(1/2)+1)/sinx((1+2x)^(1/2)+1)= =Lim(x->0) 2x/sinx((1+2x)^(1/2)+1)=[sinx эквивалентен х, тогда х-ы сократим]= =Lim(x->0)2/(1+2x)^(1/2)+1)=[подставив х=0]=1 Я на верном пути?:)
Аня # 19 ноя 2009	Большое спасибо, Ольга Александровна!
О.А. # 19 ноя 2009	добрый вечер, Яна Находим предел данной функции, используя известные пределы $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{a}-1}{x}=a,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ или асимптотические равенства $(1+x)^{a}-1\sim ax,\sin x\sim x,x\rightarrow 0$ , поэтому $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1/2)2x}{x}=1$ ,сл-но, функция доопределяется в точке $x=0$ значением равным 1
О.А. # 19 ноя 2009	возможно решать и так, как вы написали
Яна # 19 ноя 2009	Извиняюсь за беспокойство, спасибо Вам!:)
Ксения # 21 ноя 2009	Добрый вечер, Ольга Александровна. Подскажите, пожалуйста, к какому виду точек разрыва относится ${x}=0$ и почему? $y=\frac{1}{x} ln\frac{1+x}{1-x}$
О.А. # 21 ноя 2009	Здравствуйте, Ксения. Так как предел существует при $x=0$ и он равен 2, но в самой точке функция не определена, то разрыв устранимый, график функции(область определения $x\in(-1,0)\cup(0,1)$ ) http://matan.isu.ru/kons43.jpg
Ксения # 24 ноя 2009	Большое спасибо. :)
Люба # 3 дек 2009	Здравствуйте....знаю поздно,но никак не могу исследовать функцию y=x/sinx на непрерывность и найти её пределы слева и справа при приближении к точкам разрыва. Помогите пожалуйста.Заранее спасибо
О.А. # 3 дек 2009	нужно исследовать на непрерывность точки $x=\pi n$
Люба # 5 дек 2009	Проверьте пжалуйста правильно ли я исследовала функцию на непрерывность. функция у=х/sin x 1)ООФ:sin x не равно 0, х не равно Пn 2)lim (х стремится к Пn-0)х/sin x=Пn-0/Пn-0=-бесконечность lim (х стремится к Пn+0)х/sin x=Пn+0/Пn+0=+бесконечность Значит х=Пn - точка разрыва 2 рода и функция не является непрерывной. Правильно? Спасибо.
О.А. # 5 дек 2009	нет, неправильно, нужно отдельно рассмотреть из множества точек разрыва $x=\pi n$ при конкретных $n$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Форумы > Консультация по матанализу > непрерывность функции

Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться