Кто решит правильно, получит приз! :)

Форумы > Консультация по матанализу > Кто решит правильно, получит приз! :)

Страницы: 1 2

Автор	Сообщение
Анатолий # 8 ноя 2007	Найти предел: $\lim_{n \rightarrow \infty} (nSin(2\pi n! e))$ $e$ - основание натуральных логарифмов. Пишите РЕШЕНИЯ, а не ответы. Удачи! ;)
Максимович Игорь # 8 ноя 2007	А разве произведение бесконечно большой величины на ограниченную не есть бесконечно большая величина ?
Анатолий # 8 ноя 2007	Если бы все так просто было... :)
Максимович Игорь # 8 ноя 2007	Да, стормозил, мои извинения... Спасибо кстати за решения моей задачки... а давайте так - разложим e=1+1/2!+1/3!+ ... 1/n!+1/(n+1)!(1+1/(n+2)+....) Тогда sin(2Pin!(1+1/2!+.....1/n!+1/(n+1)!(1+...))= sin(2Pi/(n+1)(1+1/(n+2)+....) ~ 2Pi/(n+1). И предел равен 2Pi... Извините, не владею LaTex
Анатолий # 8 ноя 2007	Мои поздравления! :) А приз Вы уже получили - решение Вашей задачки с пределом. ;) В каком-то смысле жаль, что решили так быстро именно Вы.
Максимович Игорь # 8 ноя 2007	Спасибо, Ваши слова являются лестными... только не совсем понятно, почему плохо- что решил именно я или решил так быстро ?:) Надеюсь, что Вы подбросите еще несколько красивых , нетривиальных задач по матаанализу, давно не разминался :)
Максимович Игорь # 8 ноя 2007	Предлагаю найти решение задачки, пусть a(1)=1, a(n+1)=a(n)/(1+abs(sin(a(n)). Вычислить предел lim(n*a(n)) при n->infinity, где abs(.)- модуль, а infinity-бесконечность
Анатолий # 9 ноя 2007	Жаль, потому что если бы решил кто-то другой, призом было бы решение этому человеку определенного ряда задач, которые вызывают у него затруднения :) (так сказать, за одну хорошую задачу пару средняков) Сейчас попробую решить Ваш предел. Только уже поздно, наверное утром.
Анатолий # 9 ноя 2007	Да, кстати, Вы его сами решили? :)
Анатолий # 9 ноя 2007	$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+\left\|sin(a_n)\right\|}{a_n}$ Легко показать, что $a_n$ стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$ , оставаясь положительной величиной, а поэтому модуль у синуса можно убрать и разложить этот синус в ряд в окрестности нуля. $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1+a_n-1/6a_n^3+o(a_n^{3})}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1+b_n$ $b_n \rightarrow 0$ , когда $n \rightarrow \infty$ Используя эту рекуррентную формулу, найдем: $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_1}+n+b_1+b_2+...+b_n$ $\frac{1}{na_{n+1}}=\frac{1}{na_1}+1+\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$ Переходя к пределу при $n \rightarrow \infty$ получим (учитывая, что предел "среднего" $b_n$ -ов равен $0$ ): $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{na_{n+1}}=1$ , что и есть ответом на изначальный вопрос.
Максимович Игорь # 9 ноя 2007	Да,я решил ее с таким же ответом, только использовал признак Штольца... Я рад, что в Вашем лице есть достойный собеседник... Жду от Вас красивой задачки :)
Анатолий # 9 ноя 2007	А я не знаком с этим принзнаком :) И вообще я физик :Р Посмотрим, что Вам можно предложить из красивеньких ...
Анатолий # 9 ноя 2007	Как на счет такой ( раз Вы начали с синусов, то и я продолжу :) ): Найти предел (при $x>0$ ): $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt {\frac{n}{3}}sin_n x$ , где: $sin_1x=sinx$ $sin_nx=sin(sin_{n-1}x)$
Максимович Игорь # 9 ноя 2007	А я вообще прикладной математик по образованию (нынче программист,точнее почти аникейщик :(, занимался немного дискретной математикой (теория автоматов, алгоритмов и т.д.).
Максимович Игорь # 9 ноя 2007	Асимптотика sin_n(x) ~ sqrt(3/n) это известный факт для синуса(синуса(синуса(... Значит предел равен 1... Сейчас спешу домой, комп у меня на работе, в понедельник напишу подробнее если интересно :)
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться