Помогите решить систему ДУ

Форумы > Консультация по матанализу > Помогите решить систему ДУ

Автор	Сообщение
Владимир # 29 дек 2007	$\frac{dx}{2z-3y}=\frac{dy}{3x-4z}=\frac{dz}{4y-2x}$
Anatoliy # 29 дек 2007	Найдите два независимых первых интеграла этой системы, тогда общим решением будет функция: $u(x,y,z)=F[u_1(x,y,z),u_2(x,y,z)]$
Владимир # 29 дек 2007	Можно подробнее, пожалуйста? :)
Anatoliy # 29 дек 2007	Вы по сути решаете линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка: $a_1(x,y,z)\frac{\partial u}{\partial x}+a_2(x,y,z)\frac{\partial u}{\partial y}+a_3(x,y,z)\frac{\partial u}{\partial z}=0$ Автономная система уравнений $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x' (t)= a_1(x,y,z)} \\ {y' (t)= a_2(x,y,z)} \\ {z' (t)= a_3(x,y,z)} \\\end{array} } \right.$ называется характеристической для данного уравнения. Вы ее (правда, в нек-м другом виде) и привели. Ну а чтобы её решить, нужно найти два независимых первых интерграла характеристической системы $u_1(x,y,z), u_2(x,y,z)$ . Общим решением будет $F[u_1(x,y,z),u_2(x,y,z)]$
Anatoliy # 29 дек 2007	Сорри, $f(x)=$ перед системой не в тему...
Anatoliy # 30 дек 2007	Вобщем, я так понял, дело плохо. Запишите систему в антономном виде: $\frac{dy}{dt}=3x-4z$ 2 $\frac{dx}{dt}=2z-3y$ 4 $\frac{dz}{dt}=4y-2x$ *3 умножьте на эти числа и сложите, получите: $2\frac{dy}{dt}+4\frac{dx}{dt}+3\frac{dz}{dt}=0$ Откуда $-2dy=d(3z+4x)$ и $y=-\frac{C_1}{2}(3z+4x)$ $u_1=C_1=-\frac{2y}{3z+4x}$ - первый интеграл. Осталось найти второй независимый интеграл.
Владимир # 30 дек 2007	Я, конечно, извиняюсь за наглость, но не могли бы Вы продемонстрировать полное решение. :)
Владимир # 30 дек 2007	Упс, опоздал :))) Большое спасибо!!! Буду разбираться...
Anatoliy # 30 дек 2007	Ну а пока Вы разбираетесь, я попишу немного, что я получил. Поскольку $y=-\frac{C_1}{2}(3z+4x)$ , $dy=-\frac{1}{2}(3dz+4dx)$ , то первые два уравнения автономной системы выглядят: $-\frac{3dz+4dx}{2dt}=3x-4z$ $\frac{dz}{dt}=-6C_1z-8C_1x-2x$ Деля второе на первое и перекрестно перемножая: $6xdz-8zdz=18C_1zdz+24C_1zdx+24C_1xdz+32C_1xdx+6xdz+8xdx$ или $C_2=24C_1zx+(32C_1+8)x^2+(18C_1+8)z^2$ Осталось подставить $C_1$ и будет Вам $u_2(x,y,z)$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться