помогите разобраться с нахождением предела по правилу лопиталя

Форумы > Консультация по матанализу > помогите разобраться с нахождением предела по правилу лопиталя

Автор	Сообщение
owl # 20 янв 2012 owl 20 янв 2012	здравствуйте! помогите разобраться lim((arcsin(x))/x)^(1/(x)^2) при x стремящемся к 0 неопред вида (0)^бесконечность =lim e^((1/(x)^2)ln((arcsinx)/x)) lim (1/(x)^2)ln((arcsinx)/x) тут вот я подзабыл логарифм нуля это же бесконечность? если да то я не знаю как дальше преобразовать. если неопределённость (бесконечность*нуль) то lim (1/(x)^2)/(1/(ln((arcsinx)/x)=lim (-1/(x^3))/(1/(((x/sqrt(1-(x)^2))-arcsinx)/(x)^2 и вот опять же не знаю как дальше
o_a # 20 янв 2012	здравствуйте, в этом примере целесообразно применить разложение функции по формуле Маклорена, то есть $\arcsin x=x+(1/6)x^3+o(x^4)$ Сл-но, $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\arcsin x}{x})^{1/x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+(1/6)x^2)^{1/x^2}=e^{1/6}$
owl # 20 янв 2012	в вашем решении мне всё понятно ,спасибо ! но всё же разъясните решение по Лопиталю , просто в задании сказано решить именно по Лопиталю.
owl # 21 янв 2012	кстати если не по Лопиталю .возможно с помощью эквивалентности ?? (arcsinx эквив x, при x стремящемся к нулю ) ,тоесть lim (1)^1/(x)^2 = lim e^((1/(x)^2)*ln1)=e^0=1
o_a # 21 янв 2012	нет, последнее решение некорректно $1^{\infty}$ -неопределенность. Чтобы найти предел от данной функции надо применить правило Лопиталя дважды, $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\arcsin x}{x})^{1/x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(\frac{\arcsin x}{x})}{x^2}}$ $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{\arcsin x}{x})}{x^2}=(1/2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\arcsin x\sqrt{1-x^2}}{x^2\arcsin x}=(1/2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\arcsin x}{2x\arcsin x\sqrt{1-x^2}+x^2}=$ $(1/2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{2\arcsin x\sqrt{1-x^2}+x}=(1/2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{2+2\arcsin x(-2x/2\sqrt{1-x^2})+1}=1/6$ Сл-но, предел равен $e^{1/6}$
owl # 21 янв 2012	здравствуйте! объясните пожалуйста как получились такие ответы 471 x 201 5.4KB
o_a # 22 янв 2012	график функции $y=\frac{exp(2(x+1))}{2(x+1)x}$ имеет вид, откуда следует, что предел слева при $x\rightarrow -\infty$ равен нулю, а предел справа равен бесконечности 500 x 455 12.6KB
owl # 29 янв 2012 owl 29 янв 2012	здравствуйте , проверьте пожалуйста исследование функции : $y=\frac{ln(x)}{\sqrt{x}}$ 1) $D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ 2)c OX:(1;0) с осью OY не пересекается 3)ни чётная ,ни нечётная 4) a) $lim_{n\to0+}\frac{ln(x)}{\sqrt{x}}=+\infty$ $lim_{n\to0-}\frac{ln(x)}{\sqrt{x}}=-\infty$ x=0-вертикальная асимптота б)k= $lim_{n\to\infty}\frac{ln(x)}{\sqrt{x}}/{x}=\infty$ значит наклонная и горизонтальная асимптоты отсутствуют 5) $f'(x)=\frac{2-ln(x)}{\sqrt[2]{2x^3}}$ x=e^2 f(x) $\nearrow(-\infty;e^2)\searrow(e^2;\infty)$ min=(e^2;2/e) 6) $f ''(x)=\frac{3ln(x)-8}{\sqrt[2]{4x^5}}$ x=e^(8/3) выпукла $-(-\infty;$ e^(8/3)),вогнута-(e^(8/3);+infty) правильно ли посчитал k?
o_a # 29 янв 2012	здравствуйте. Первое, данная функция определена лишь при $x>0$ из-за функции логарифма, кроме того, наличия корня, поэтому область определения $x>0$ Пределы $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{x\sqrt{x}}=0,\;\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$ Поэтому существует горизонтальная асимптота $y=0$ производная найдена верно, а вот в точке $x=e^2,y=2/e$ максимум, а не минимум, как у вас написано. При $e^{8/3}<x<\infty$ функция выпукла вниз, а при $0<x<e^{8/3}$ -выпукла вверх. В пункте 4 написанного исследования неверно указаны предельные точки надо $x\rightarrow +-0$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться