интегралы

Форумы > Консультация по матанализу > интегралы

Автор	Сообщение
2131 # 17 фев 2006	найти интегралы: 1.(3х-1)dx/(х^2-x+1) 2.sin^3(x)dx/(cosx)^(1/2) 3.dx/(x^(1/2)+x^(1/4)) 4.(x^2+1)dx/(x^4+1)
О.А. # 17 фев 2006	1) можно для вычисления выделить полный квадрат и сделать замену $x-\frac{1}{2}=t$ ; 2) $\int\frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}}dx=\int\frac{\sin^2x\sin xdx}{\sqrt{\cos x}}=-\int\frac{(1-\cos^2x)d(\cos x)}{\sqrt{\cos x}}=$ $-\int\frac{d(\cos x)}{\sqrt{\cos x}}+\int\cos^{3/2}xd(\cos x)=-2\cos^{1/2}x+2/5\cos^{5/2}x+c$ ; 3)в данном примере нужно сделать замену переменной ; 4) $\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\int\frac{(1+1/x^2)dx}{x^2+1/x^2}=$ $\int\frac{d(x-1/x)}{(x-1/x)^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x-1/x}{\sqrt{2}}+c$
2131 # 24 фев 2006	Помогите пожалуйста найти интеграл: dx/(x^2+1)^2
О.А. # 24 фев 2006	Известно рекуррентное соотношение для интеграла: $J_{\alpha}=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{\alpha}}=\frac{x}{2a^2(\alpha-1)(x^2+a^2)^{\alpha-1}}+\frac{2\alpha-3}{a^2(2\alpha-2)}J_{\alpha-1}$ Поэтому $J_{2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}J_{1}$ Здесь $J_{1}=\arctan x+c$
Любопытный человек # 3 мар 2006	здравствуйте Ольга Александронва подскажите пожалуйста как решать вот эти примеры: 1)dx/(x^6+1) 2)xdx/((x-1)^2)(x+1)^3
О.А. # 4 мар 2006	Здравствуйте. 1)Преобразуем подинтегральное выражение: $\frac{1}{x^6+1}=\frac{(x^4+1)+(1-x^4)}{2(x^6+1)}$ $=\frac{(x^4-x^2+1)+x^2}{2(x^2+1)(x^4-x^2+1)}+\frac{(1-x^2)(1+x^2)}{2(x^4-x^2+1)(1+x^2)}=\frac{1}{2(x^2+1)}+\frac{x^2}{2(x^6+1)}+\frac{-x^2+1}{2(x^4-x^2+1)}$ Данные первые два слагаемых легко проинтегрировать, последнее слагаемое надо разложить на простые дроби: $\frac{1-x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{3}x+1}$ Легко найти коэффициенты: $A=-C=1/\sqrt{3},\;\;B=D=1/2$ Окончательно, $J=1/2\arctan x+1/6\arctan x^3+\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\frac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1}+C$ 2)В данном примере либо разлагают на сумму пяти дробей $\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x+1)^3}+\frac{D}{(x+1)^2}+\frac{E}{x+1}$ , либо применяют метод Остроградского (Ляшко И.И. и др. Математический анализ. К.,ч.1, с.381.)
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

Форумы > Консультация по матанализу > интегралы

Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться