Форумы > Консультация по матанализу > область сходимости ряда

Поиск
Автор Сообщение
Наталия #
19 окт 2006
в) Найти область сходимости ряда (а=Const) x не определено $\sum^{}_{t=1}\frac{sin(2at-1)x}{(2at-1)^a}$ Решение: Используем признак сходимости Абеля Положим, что х – фиксированная величина, причем Введем замену: $(2at-1)=n$ Тогда , $\sum^{}_{n=1}\frac{sinnx}{n^a}$ $an=sinnx$ $bn=1/n^a$ Проверим два условия: 1. Один из сомножителей имеет ограниченную первообразную, 2. Второй монотонно убывающий и предел при n стрем к бескон. равен нулю. $\sum^{}_{n=1}{an=|sinx+sin2x+...+sinnx|=}$ $\frac{2sinxsin\frac{x}{2}+2sin2xsin\frac{x}{2}+...+2sinnxsin\frac{x}{2}}{2|sin\frac{x}{2}|=}$ $\frac{cos\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2}+cos\frac{3x}{2}-cos\frac{5x}{2}+...+cos(n-\frac{1}{2})n-cos(n+\frac{1}{2})x}{2|sin\frac{x}{2}|=}$ $\frac{cos\frac{x}{2}-cos(n+\frac{1}{2})x}{2|sin\frac{x}{2}|}<\frac{1}{2|sin\frac{x}{2}|}$ $\lim\frac{1}{n^a}=0$ следовательно ряд сходится. Так? как теперь найти область сходимости ряда? исходя из уже полученного? т.е.: $cos\frac{x}{2}-cos(n+\frac{1}{2})x<1$? заранее спасибо
О.А. #
19 окт 2006
Первое условие признака Абеля-Дирихле формулируется следующим образом: 1) Один из сомножителей представляет собой ряд, который имеет ограниченную последовательность частичных сумм.Формулировка, которую я отправила с письмом относится к признаку для несобственных интегралов. Т.к. условие задачи найти область сходимости, то нужно найти значения $x$, при которых сходится данный Функциональный ряд, а не числовой. Можно исследовать на равномерную сходимость, используя признак равномерной сходимости Абеля-Дирихле. Формулировка его та же, но в терминах равномерной сходимости. Вы правильно провели оценку для частичных сумм ряда, только надо исключить равенство знаменателя нулю, т.е.$\sin (x/2)\neq 0\Rightarrow x_{n}\neq 2\pi n,n=0,\pm 1,...$ Таким образом, ряд сходится равномерно на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек $x_{n}= 2\pi n,n=0,\pm 1,...$
О.А. #
19 окт 2006
Кроме того, $a>0$
Наталия #
20 окт 2006
То есть это и есть окончательный ответ? спасибо огромное

Форумы > Консультация по матанализу > область сходимости ряда
Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

© teacode.com, 2004-2016