Форумы > Консультация по матанализу > Предел последовательности

Поиск
Автор Сообщение
Максимович Игорь #
2 нояб. 2007
Уважаемые товарищи и господа ! Очень нужно - помогите найти предел при n -> infinity последовательности x(n) = sin(1)/2 + sin(2)/2^2 + ... sin(n)/2^n, где 2^n - есть 2 в степени n. Вроде как решить нужно по лемме о двух милиционерах, но можно и любым способом. Заранее всем благодарен за идеи и решения.
Максимович Игорь #
2 нояб. 2007
Уважаемая Ольга Александровна ! Оценка сверху тривиальна, т.к. |sin(n)/2^n| <= 1/2^n и получается что |x(n)| <= 1+1/2+1/2^2 + ... 1/2^n суть геом. прогрессия. А как оценить снизу аналогичной прогрессией неясно.. Очень жду вашей помощи. Всем откликнувшимся огрномное спасибо !
О.А. #
3 нояб. 2007
Нужно использовать критерий Коши:для того чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна, поэтому проверяем условие фундаментальности$|x_{n+p}-x_{n}|=|\frac{\sin(n+1)}{2^{n+1}}+\frac{\sin(n+2)}{2^{n+2}}+...+\frac{\sin(n+p)}{2^{n+p}}|\leq \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+...+\frac{1}{2^{n+p}}=$$\frac{1}{2^{n+1}}(1-1/(2^{p}))/(1/2)<\frac{1}{2^{n}}<\epsilon\;\; \forall \epsilon >0\;\;\exists N_{\epsilon}=\log[2]1/\epsilon \Rightarrow\;|x_{n+p}-x_{n}|<\epsilon$
Максимович Игорь #
5 нояб. 2007
Ольга Александровна, большое спасибо, но в задаче нужно найти предел, а не доказать его сущестование, вот в чем была сложность
Анатолий #
8 нояб. 2007
Ну что ж, Игорь. Никто Вам не пишет - придется мне Вас развлекать. :) $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{sin1}{2^1}+\frac{sin2}{2^2}+...+\frac{sinn}{2^n})=$ {$sinn=\frac{e^{in}-e^{-in}}{2i}$ $cosn=\frac{e^{in}+e^{-in}}{2}$} $= \frac{1}{2i} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} (e^{k(i-ln2)}-e^{k(-i-ln2)})=\frac{1}{2i} (\frac{e^{i-ln2}}{1-e^{i-ln2}}-\frac{e^{-i-ln2}}{1-e^{-i-ln2}})=$ $= \frac{1}{2i} ( \frac{e^{i-ln2}-e^{-i-ln2}}{(1-e^{i-ln2})(1-e^{-i-ln2}}})= \frac{1}{2i}(\frac{e^{-ln2}(e^i-e^{-i})}{1-e^{-ln2}(e^i+e^{-i})+e^{-2 ln2}})=\frac{1}{2}\frac{sin1}{1-cos1+\frac{1}{4}}=\frac{sin1}{\frac{5}{2}-2cos1}$ Можно ещё посчитать $cos1$ и $sin1$, но уж сами как-то, ок? :) (через корни выражаются) P.S. использовалась также фор-ла: $S_{\infty}=\frac{b_1}{1-q}$ для бесконечной геометрической прогрессии.
Максимович Игорь #
8 нояб. 2007
Спасибо огромное, Анатолий. Решение дейстительно красивое, хотя для студентов 1-го курса непосильное :) Кстати, как на счет взятия предела вашего призового ?
Анатолий #
8 нояб. 2007
Почему же непосильное? :) Поминтся, в школе я уже был знаком с формулой эйлера, а на первом курсе тем более ;)
Татьяна #
11 нояб. 2008
Анатолий, а мне поможете? Мне нужно доказать, что последовательность n/2 в степени n , где n принадлежит N нулевая последовательностью Спрашивается, как?

Форумы > Консультация по матанализу > Предел последовательности
Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

© teacode.com, 2004-2026