Подскажите, пожалуйста про дифуры!

Форумы > Консультация по матанализу > Подскажите, пожалуйста про дифуры!

Автор	Сообщение
Кабан!!! # 26 окт 2008	Здравствуйте, уважаемая Ольга Александровна! Каким методом решать диф. уравнения: 1) y'+y=exp(-x) предполагаю, что нужно так: y=tx y'=t'x+t 2) xy''=y' предполагаю y'=P y''=dP/dx Заранее большое спасибо!!!
О.А. # 26 окт 2008	Здравствуйте! 1)это обычное линейное д.у., метод решения,например, замена переменной $y=uv$ , затем вариация произвольной константы,общий интеграл уравнения равен $y=(x+c)e^{-x}$ 2)для решения нужно понизить степень производной, для этого вводят замену $y'=z(x)\Rightarrow y''=z'_{x}$ , подставляя в исходное уравнение, получим $xz'=z\Rightarrow \frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}\Rightarrow z=cx$ Сл-но, $y'=cx\Rightarrow y(x)=cx^{2}/2+c1$
Кабан!!! # 26 окт 2008	Ольга Александровна! У меня почему-то не так, как у Вас получилось. 1) $y'+y=e^{-x}$ , $y=UV$ $y'=U'V+V'U$ $U'V+V'U+UV=e^{-x}$ $V(U'+U)+(V'U-e^{-x})=0$ $U'+U=0$ $\frac{dU}{dx}=-U$ $\int{\frac{dU}{U}}=-\int{dx}$ $ln\|U\|=-x+C_{1}$ $\|U\|=e^{C_{1}-x}$ $U=e^{C_{1}-x}$ Пусть $C_{1}=0$ , тогда $U=e^{-x}$ $V'U-e^{-x}=0$ $V'e^{-x}-e^{-x}=0$ $V'=1$ $\int{dV}=\int{dx}$ $V=x+C_{2}$ $y=e^{-x}(x+C_{2})$
О.А. # 26 окт 2008	ответ такой же, дело в том, что есть вариант записать решения уравнения $\frac{du}{u}=-dx$ в следующей форме $\ln u=-x+\ln c$ , тогда $u=ce^{-x}$ , но от этого логика рассуждений не меняется
Кабан!!! # 26 окт 2008	А в целом, решение правильное? То есть в конечном решении не нужно C2 принимать равным нулю или единице? Так и оставить?
О.А. # 26 окт 2008	если в условии задачи не задано начальное условие( $y(a)=b$ ), то произвольная константа присутствует в ответе,ход решения правильный
Кабан!!! # 27 окт 2008	Спасибо Вам огромное!!! Подскажите, пожалуйста, еще по одному ДУ: $y'+\frac{1-2x}{x^{2}}y=1$ Я пробовал такую замену $y=Ux$ и $y'=U'x+U$ , но ничего не получилось. Тогда чтобы избавиться от $x^{2}$ в знаменателе я сделал замену $y=Ux^{2}$ и $y'=U'x^{2}+2Ux$ , но нас так не учили. С такой заменой все решилось. Можно ли применять такую нестандартную замену?
О.А. # 27 окт 2008	Данное уравнение является тоже линейным и метод решения его аналогичен,т.е. замена $y=uv$ , дальше такие же рассуждения, которые Вы проделали в предыдущем примере, ответ $y=cx^2e^{1/x}+x^2$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться