Проверьте, пожалуйста, производные

Форумы > Консультация по матанализу > Проверьте, пожалуйста, производные

Автор	Сообщение
Пермецель # 6 мар 2009	Здравствуйте, Ольга Александровна! Очень нужна Ваша помощь в проверке задачи: Найти производные: $\frac{DV}{D(y')}$ и $\frac{d}{dx}( \frac{DV}{D(y')})$ (Здесь D - частная производная) от выражения $V[y(t)]= \int { \frac {\sqrt{1+(y')^2}} {y}} dx$ $\frac{DV}{D(y')}= \frac{y'}{y \sqrt{1+(y')^2}}$ $\frac{d}{dx}( \frac{DV}{D(y')}) = \frac{y''y \sqrt{1+(y')^2}-y'(y'* \sqrt{1+(y')^2}+ \frac{y}{2* \sqrt{1+(y')^2}}2y'y'')}{y^2{(1+(y')^2)}}$ А дальше, если все правильно, то я упрощу выражение.
О.А. # 7 мар 2009	непонятно от какой переменной зависит $y$ от $x$ или $t$ ,в выражении $V(y(t))$ слева функция от $t$ , а справа число, если $y$ зависит от $x$ ?
Пермецель # 7 мар 2009	Ошибся: от выражения $V[y(x)]= \int { \frac {\sqrt{1+(y')^2}} {y}} dx$ зависит от х, задан функционал
О.А. # 7 мар 2009	советую вам уточнить задание примера, в выражении $V(y(x))=\int\sqrt{1+y'(x)^2}/y(x)dx$ правая часть это число,т.к. $y=y(x),y'(x)$ -зависят от $x$ после интегрирования это будет число, а не функция от $x$ как вы написали
Пермецель # 7 мар 2009	Извините, так получилось потому, что я не стал писать задание полностью, а написал только ту часть, в которой сомневаюсь. По заданию надо составить уравнение Эйлера, для которого надо найти прозводную подынтегрального выражения по y', а потом от этой производной найти производную по х, что я и пытался сделать.
О.А. # 7 мар 2009	Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом является отрезок, соединяющий эти точки. Получим его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $(a, c)$ и $(b, d)$ Тогда длина пути $y(x)$ , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом: $L = \int_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx$ Уравнение Эйлера — Ланранжа для этого функционала принимает вид: $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$ или в подробном виде $\frac {d} {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0$ , откуда получаем, что $y''\frac{\partial F}{\partial y'^2}=0\Rightarrow y''=0$ $y'(x) = C \Rightarrow y = Cx + D.$ Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $y(a) = c,$ $y(b) = d,$ т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.
Пермецель # 9 мар 2009	Ольга Александровна, я решал, как нас учили. Вот, что у меня получилось: 1) записываем уравнение Эйлера: $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$ 2) находим производную: $\frac{\partial F}{\partial y}=- \frac {\sqrt{1+(y')^2}} {y^2}$ 3) находим производную: $\frac{\partial F}{\partial y'}= \frac {y' } {y \sqrt{1+(y')^2}}$ 4) находим производную: $\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{y''y \sqrt{1+(y')^2}-y'(y'* \sqrt{1+(y')^2}+ \frac{y}{2* \sqrt{1+(y')^2}}2y'y'')}{y^2{(1+(y')^2)}}=\frac {y''y-(y')^2-(y')^4 } {y^2 ({1+(y')^2})^{3/2}}$ 5) подставляем производные в уравнение Эйлера: $- \frac {\sqrt{1+(y')^2}} {y^2}-\frac {y''y-(y')^2-(y')^4 } {y^2 ({1+(y')^2})^{3/2}}=0$ $-(1+(y')^2)^2 =y''y-(y')^2-(y')^4$ $-1-2(y')^2-(y')^4 =y''y-(y')^2-(y')^4$ $y''=- \frac{1}{y}(1+(y')^2)$ 6) решаем диф.уравнение: $y''=- \frac{1}{y}(1+(y')^2)$ $P=y'$ , $y''= \frac{dP}{dy}$ $\frac{dP}{dy}= - \frac{1}{y}(1+P^2)$ $\frac{dP}{(1+P^2)}= - \frac{dy}{y}$ $arctg P= - ln\|y\|+ln\|C_{1}\|$ $y'=P= tg(ln\| \frac{C_{1}}{y}\|)$ а дальше не решается... Ответ должен быть таким $(x-C_{1})^2+y^2=C_{2}^2$ Не пойму, где ошибка.
О.А. # 9 мар 2009	у меня получилось такое же уравнение, как и у Вас $y''=-\frac{1+y'^2}{y}$ Дальше замена $y'=p(y)\Rightarrow y''=p\frac{dp}{dy}$ Поэтому у Вас не получается
Пермецель # 10 мар 2009	Спасибо Вам огромное! Сейчас попробую так решать. С прошедшим Вас праздником!
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться