решение олимпиадных примеров

Автор	Сообщение
o_a # 24 апр 2012	1) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-3)^100-(2x-3)^88}{(4x-3)^102-(5x-40)^90}=\frac{2^100-1}{0}=\infty$ 2) $\int x^3(1+x^{3})^{-1/3}dx$ делаем замену $1+x^3=x^3t^3\rightarrow x=(t^3-1)^{-1/3}$ приходим к интегралу вида $I=-\int \frac{t}{(t^3-1)^2}dt$ Данный интеграл берется разложением на простейшие дроби $-1/9(t-1)-1/3(t^2+t+1)^2+1/9(t-1)^2+(1/9)(t+1)/(t^2+t+1)$ окончательный ответ в переменной t $(1/9)(2t+1)/(t^2+t+1)+(1/9)\sqrt{3}\arctan((1/3(2t+1))\sqrt{3})+$ $(1/9)\ln(t-1)+1/(9*(t-1))-(1/18)\ln(t^2+t+1)$ 3) $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}=\int_{-1}^{0}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}$ Под знаком первого интеграла сделаем замену $-x=t$ получим $\int_{0}^{1}\frac{e^{t}dt}{(e^t+1)(t^2+1)}$ Складывая его со вторым, получим окончательный результат $I=\arctan t\|_{0}^{1}=\pi/4$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

1) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-3)^100-(2x-3)^88}{(4x-3)^102-(5x-40)^90}=\frac{2^100-1}{0}=\infty$ 2) $\int x^3(1+x^{3})^{-1/3}dx$ делаем замену $1+x^3=x^3t^3\rightarrow x=(t^3-1)^{-1/3}$ приходим к интегралу вида $I=-\int \frac{t}{(t^3-1)^2}dt$ Данный интеграл берется разложением на простейшие дроби $-1/9(t-1)-1/3(t^2+t+1)^2+1/9(t-1)^2+(1/9)(t+1)/(t^2+t+1)$ окончательный ответ в переменной t $(1/9)*(2*t+1)/(t^2+t+1)+(1/9)\sqrt{3}\arctan((1/3*(2*t+1))\sqrt{3})+$ $(1/9)\ln(t-1)+1/(9*(t-1))-(1/18)\ln(t^2+t+1)$ 3) $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}=\int_{-1}^{0}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^2+1)}$ Под знаком первого интеграла сделаем замену $-x=t$ получим $\int_{0}^{1}\frac{e^{t}dt}{(e^t+1)(t^2+1)}$ Складывая его со вторым, получим окончательный результат $I=\arctan t|_{0}^{1}=\pi/4$

Teacode.com: решение олимпиадных примеров