докозательство

Автор	Сообщение
susan # 24 окт 2013	Помогите доказать сходимость последовательности ∑(k=1 до n) a с индексомk*q^k,где q по модулю <1, a c индексом k<=c
o.a. # 24 окт 2013	Нужно использовать критерий Коши: Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, поэтому надо доказать фундаментальность данной последовательности. $\forall \epsilon>0\exists N_{\epsilon}\forall n>N_{\epsilon}\forall p\in N \|x_{n+p}-x_{n}\|<\epsilon$ Запишем $\|x_{n+p}-x_{n}\|=\|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}q^{k}\|\leq \sum_{k=n+1}^{n+p}\|a_{k}\|\|q\|^{k}\leq c\sum_{k=n+1}^{n+p}\|q\|^{k}=c\frac{\|q\|^{n+1}(1-\|q\|^{p})}{1-\|q\|}\leq c\frac{\|q\|^{n+1}}{1-\|q\|}<\epsilon$ Затем надо решить полученное неравенство относительно $n$ : $n+1>log_{\|q\|}\frac{(1-\|q\|)\epsilon}{c}$ $\Rightarrow n>log_{\|q\|}\frac{(1-\|q\|)\epsilon}{c}-1$ Сл-но, в качестве номера $N_{\epsilon}$ надо выбрать целую часть от полученного номера $n$ : $N_{\epsilon}=[log_{\|q\|}\frac{(1-\|q\|)\epsilon}{c}-1]$
Ваш ответ:	Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

susan #
24 окт 2013

Помогите доказать сходимость последовательности ∑(k=1 до n) a с индексомk*q^k,где q по модулю <1, a c индексом k<=c

o.a. #
24 окт 2013

Нужно использовать критерий Коши: Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, поэтому надо доказать фундаментальность данной последовательности. $\forall \epsilon>0\exists N_{\epsilon}\forall n>N_{\epsilon}\forall p\in N |x_{n+p}-x_{n}|<\epsilon$ Запишем $|x_{n+p}-x_{n}|=|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}q^{k}|\leq \sum_{k=n+1}^{n+p}|a_{k}||q|^{k}\leq c\sum_{k=n+1}^{n+p}|q|^{k}=c\frac{|q|^{n+1}(1-|q|^{p})}{1-|q|}\leq c\frac{|q|^{n+1}}{1-|q|}<\epsilon$ Затем надо решить полученное неравенство относительно $n$ : $n+1>log_{|q|}\frac{(1-|q|)\epsilon}{c}$ $\Rightarrow n>log_{|q|}\frac{(1-|q|)\epsilon}{c}-1$ Сл-но, в качестве номера $N_{\epsilon}$ надо выбрать целую часть от полученного номера $n$ : $N_{\epsilon}=[log_{|q|}\frac{(1-|q|)\epsilon}{c}-1]$

Ваш ответ:

Teacode.com: докозательство